Những ai ngưỡng mộ toán học chắc chắn rằng sẽ thân thương tới top những bài toàn cực nhọc nhất thé giới chưa giải được. Không những vậy, những việc này còn được coi là bài toán triệu đô vày phần thưởng đi kèm theo với lời giải. Bạn đọc hãy cùng naototnhat điểm qua những việc thiên niên kỷ này nhé.
Bạn đang xem: Top 5 bài toán khó nhất thế giới
Bài toán p so cùng với NP
Đây là 1 trong những bài toán mở được xem như là quan trọng tốt nhất trong lý thuyết khoa học đồ vật tính. Nó được đơn vị toán học Stephen Cook gửi ra vào năm 1971. Đến nay, bài toán này đã trở thành một trong bảy việc thiên niên kỷ bởi vì viện toán học tập Clay lựa chọn. Phần thưởng đúng đầu tiên giành riêng cho nó lên đến một triệu USD.Stephen Cook đã tư tưởng tập vừa lòng những vấn đề mà fan ta thẩm tra tác dụng dễ rộng được điện thoại tư vấn là p. Còn tập hòa hợp những sự việc mà người ta dễ dàng tìm ra hơn được hotline là NP. Theo đó, thắc mắc được đưa ra là liệu hai tập hợp này còn có trùng nhau không? fan ta tin rằng p và NP là ko trùng nhau. Tuy nhiên, chưa xuất hiện ai chứng minh được điều này.
Mô tả một cách đơn giản hơn về nội dung bài toán là: gồm phải bất kỳ vấn đề như thế nào có giải mã dễ kiểm chứng mau lẹ cũng rất có thể được giải một cách gấp rút không? Ví dụ bạn sẽ dễ kiểm tra hiệu quả của 258357 * 3843 = 13717421. Tuy vậy lại rất cực nhọc để triển khai con số 13717421.
Giả thuyết Hodge
Đây là đưa thuyết được đưa ra vị nhà toán học tập William Hodge vào năm 1950. Ngôn từ giả thuyết là: “Trong một số trong những dạng ko gian, các thành phần của tính đồng đẳng đã tìm lại bản chất hình học của chúng”. Viện toán học tập Clay đã đưa ra phần thưởng một triệu USD cho tất cả những người có thể bác bỏ bỏ hoặc chứng minh giả thuyết này.
Giả thuyết Hodge được xem như là một vụ việc lớn của hình học. Ngoại trừ ra, nó còn liên quan tới Topo đại số. Tại thể kỷ XX, phần lớn đường thẳng với hình tròn đã bị thay thế vì chưng khái niệm đại số. Nó được tổng quan và kết quả hơn trong hình học hiện tại đại. Chúng ta đã tất cả những hiện đại đáng bỡ ngỡ trong lĩnh vực này. Mặc dù nhiên, điều này cũng đồng thời làm mất đi đi thực chất của hình học.
Giả thuyết Poincaré
Đây là trong số những giả thuyết vô cùng khét tiếng và quan trọng trong toán học. Nó được gửi ra vày Jules-Henri Poincaré vào thời điểm năm 1904. Trả thuyết này tồn tại hơn 100 năm tính đến khi chấp nhận được công nhận đã giải quyết được bởi Grigori Perelman. Tuy nhiên, trên đây vẫn là giữa những bài toán thiên niên kỷ chưa tồn tại lời giải. Bởi vẫn tồn tại nhiều nghi ngờ xung quanh giải đáp của Perelman.
Để dễ hình dung, các bạn hãy lấy một thiết bị hình ước và vẽ lên nó một đường cong khép kín đáo không cắt nhau. Sau đó, các bạn cắt trái bóng theo con đường vừa vẽ. Bạn sẽ nhận được nhị mảnh láng vỡ. Nhưng mà nếu làm giống như với một vật hình xuyến, các bạn sẽ chỉ nhận thấy một. Trong Topo, người ta gọi quả trơn (hình cầu) là một mặt phẳng liên thông solo giản. Nó trái chiều với loại phao (hình xuyến).
Poincaré đã đưa ra câu hỏi: Liệu đặc điểm này còn đúng trong không gian bốn chiều không? những nhà hình học tập Topo đã chứng minh được nó đúng trong không khí 3 và từ 5 chiều trở lên. Tuy nhiên, với không khí 4 chiều thì lại không thể giải được cho tới 100 năm sau.
Giả thuyết Riemann
Hầu không còn mọi bạn đều hiểu được số nguyên tố bao gồm vai trò rất quan trọng trong toán học. Đây là những số lượng chỉ hoàn toàn có thể chia hết cho chủ yếu nó và mang lại một. Các số nguyên tố này không thể được phân bổ ngẫu nhiên. Cơ mà nó liên kết chặt chẽ với một hàm số Zeta ở trong nhà toán học Leonard Euler.
Vào năm 1959, nhà Toán học fan Đức Bernhard Riemann đã đưa ra giải thuyết rằng: “Các ko điểm phi đều đều của hàm zeta Riemann vớ cả đều phải có phần thực bằng 1/2”. BHay có thể hiểu rằng những giá trị không tương xứng với hàm Zeta được sắp xếp theo sản phẩm tự.
Sau đó, tương đối nhiều nhà toán học sẽ kiểm triệu chứng được tính đúng mực của đưa thuyết này. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có ai chứng minh được nó.
Các phương trình của Yang – Mills
Trong đồ dùng lý và toán học, các phương trình của Yang – Mills là một hệ thống các công tác vi phân riêng. Rất nhiều phương trình này bộc lộ sự liên kết mật thiết giữa hình học vi phân và lý thuyết đo. Nhờ đó, những nhà thứ lý đã ứng dụng nó trong những máy tốc độ hạt bên trên toàn thế giới hiện nay. Tuy nhiên, các nhà toán học hiện tại vẫn chưa thể xác định được số nghiệm đúng mực của những phương trình này.
Các nhà đồ lý tín đồ Mỹ – Chen Nin Yang cùng Robert Mills đã giới thiệu phương trình vào thời điểm năm 1950. Nó độc lập với những tài liệu toán học dẫu vậy lại được ứng dụng trẻ trung và tràn trề sức khỏe trong nghành nghề này. Vì sự phức hợp và tầm quan trọng này, các phương trình của Yang – Mills cũng nằm trong TOP Những bài toán khó nhất thế giới chưa giải được.
Các phương trình Navier – Stokes
Những phương trình này được đặt theo thương hiệu của Claude-Louis Navier cùng George Gabriel Stokes. Nó diễn tả dòng chảy của các chất lỏng cùng khí (được gọi thông thường là chất lưu). Phương trình được thiết lập cấu hình trên cơ sở đổi thay thiên động lượng trong số thể tích vô cùng bé dại của gần như chất bên trên chỉ dễ dàng là tổng của các lực nhớt tiêu tán, chuyển đổi trọng lực, áp suất và các lực ảnh hưởng tác động khác lên hóa học lưu.
Đến nay, phương trình Navier – Stokes đã đem đến nhiều vận dụng riêng biệt. Tuy nhiên, nó lại vẫn chưa tồn tại lời giải. Đây đã trở thành bài toán học tập búa duy nhất thiên niên kỷ cùng được trao phần thưởng tận một triệu USD.
Giả thuyết của Birch với Swinnerton-Dyer
Đây là giả thuyết thể hiện tập hợp những nghiệm của các phương trình là một trong đường cong elliptic. Nó cũng là 1 bài toán mở trong lĩnh vực kim chỉ nan số. Trả thuyết này được đặt theo tên của Bryan John Birch cùng Peter Swinnerton-Dyer. Đây là những người đã gửi ra rộp đoán vào năm 1960 với việc hỗ trợ của sản phẩm tính. Cho đến tận năm 2002, chỉ một vài trường hợp đặc biệt của rộp đoán này được chứng minh.
Cho mang lại ngày nay, các nhà toán học những đã chấp nhận tính đúng mực của trả thuyết này. Tuy nhiên, lại chưa tồn tại ai chứng tỏ được nó. Vày thế, giả thuyết của Birch với Swinnerton-Dyer đang trở thành một trong những bài toán khó khăn nhất thiên niên kỷ. Viện toán học Clay đã và đang trao giải thưởng một triệu USD mang đến nó.
Trên đấy là tổng hợp TOP Những bài toán khó nhất nhân loại chưa giải được. Những bài toán này đều phải sở hữu vai trò cực kì quan trọng trong ứng dụng thực tiễn. Tuy nhiên, fan ta lại chưa chứng minh được nó. Cũng chính vì vậy, viện toán học tập Clay đang trao phần thưởng rất cao cho đáp án thứ nhất được gửi ra.
Sau những câu hỏi trên lớp hay những bài tập đã có thầy cô giáo đào tạo trên lớp, bên trên trường, liệu có bài toán khó khăn nhất nắm giới nào nhưng bạn chưa được biết? Hãy cùng tò mò xem đâu là những câu hỏi khó nhất trái đất để chúng ta cũng có thể biết thêm những thông tin hữu dụng và thú vị hơn nha!
Lịch sử, bắt đầu ra đời của toán học
Rất thọ trước khi xuất hiện thêm những văn từ cổ nhất trên gắng giới, đã có nhiều bức vẽ cho thấy có một kỹ năng về toán học và biện pháp đo thời hạn dựa bên trên sao trời. Lấy ví dụ như như những nhà cổ sinh vật dụng học đã khám phá ra được những mảnh đất thổ hoàng vào một hang động nằm ở vị trí Nam Phi được trang trí bởi những hình xung khắc hình học tập với thời hạn khoảng 70.000 TCN.
Cũng những di khảo chi phí sử đã làm được tìm thấy sống châu Phi và nước Pháp, thời gian nằm khoảng giữa 35000 TCN cùng 20000 TCN, cho thấy các cố gắng sơ khai của bạn tiền sử nhằm định lượng thời gian.
Các bằng chứng còn tồn tại cho tới ngày nay hầu hết thấy vấn đề đếm thời sơ khai công ty yếu là do người phụ nữ, những người dân giữ những vật khắc ghi chu kỳ sinh học tập của bạn dạng thân sản phẩm tháng; ví dụ như hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc bố mươi vạch trên hòn đá hoặc xương động vật, theo tiếp đến là một vạch cách quãng khác. Hơn nữa, các thợ săn thời thượng cổ đã tất cả khái niệm về một, nhì và các số nữa tương tự như không lúc chứng kiến tận mắt xét con số cá thể của bè phái thú.
Xương Ishango được tìm kiếm thấy sinh sống thượng nguồn chiếc sông Nile (phía bắc phạm vi hoạt động nước cùng hòa Dân chủ Congo), ở trong thời kì 20.000 TCN. Phiên bản dịch phổ biến nhất của các hòn đá này cho thấy thêm nó là bằng chứng sớm nhất có thể thể hiện tại một dãy những số nguyên tố với phép nhân của ai Cập cổ đại.
Vào thiên niên kỷ đồ vật 5 TCN, tín đồ Ai Cập cổ xưa đã vẽ các bức tranh về xây dựng hình học và không gian. Fan ta đã gửi ra các giả thuyết để xác minh các hòn đá tế thần sinh sống Scotland cùng Anh tự thiên niên kỷ sản phẩm công nghệ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elip cùng bộ ba Pythagore trong xây đắp của nó.
Nền toán học nhanh nhất được bé người mày mò là sinh hoạt Ấn Độ cổ điển nằm vào khoảng thời hạn 3000 TCN – 2600 TCN sinh sống nền văn minh thung lũng Indus (nền đương đại Harappa) của Pakistan với Bắc Ấn Độ. Nền toán học tại chỗ này đã trở nên tân tiến một hệ thống các đơn vị đo.
Tại Thung lũng Indus cổ kính đã đưa vào sử dụng hệ cơ số 10, một technology gạch đáng ngạc nhiên khi sử dụng các tỉ lệ, những đường đi được bỏ lên một góc vuông rất là hoàn hảo. Đồng thời một số trong những các hình hình học với thiết kế, bao hàm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình trụ, hình nón và những bức vẽ minh họa các hình trụ và hình tam giác cắt nhau với đồng quy.
Các biện pháp dùng trong toán học tập do những nhà khảo cổ học tập tìm được gồm một thước đo cơ số 10 cùng với độ chia bé dại và cực kỳ chính xác. Đi kèm cùng với đó là 1 trong những dụng cụ vỏ sò được chuyển động như một loại com pa nhằm đo góc cùng bề mặt phẳng hoặc theo các bội của góc 40 – 360 độ với một mức sử dụng vỏ sò khác nhằm đo 8-12 phần của con đường chân trời và bầu trời. Tiếp đó là một trong bộ khí cụ để đo vị trí của những sao, các hình tinh nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay của bạn Indus vẫn không được giải nghĩa; vày đó chúng ta biết được rất ít về những dạng viết của toán học tập Harappan.
Các dẫn chứng khảo cổ đang làm những nhà sử học tập trên quả đât tin rằng nền hiện đại này đã sử dụng được hệ đếm cơ số 8 cùng đạt được các thành trái về kiến thức và kỹ năng tính tỉ lệ giữa chu vi của mặt đường tròn đối với bán kính của nó, do đó mà tính được số π đúng mực nhất.
6 vấn đề khó nhất trên trái đất được con người biết đến
Cộng đồng mạng từng chuyển ra các tranh luận sôi sục về những bài bác toán lúc xem qua tưởng chừng như rất đơn giản của học sinh, tuy thế trên thực tiễn lại làm bạn ta nhức đầu.
Bài toán tuổi thọ 263 năm không tìm ra lời giải
Trong nghành nghề toán học, bài bác tập về những số nguyên tố luôn luôn giữ mức độ cạnh tranh kỉ lục độc nhất vô nhị điển hình như bài toán về trả thuyết ở trong phòng toán học tập Christian Goldbach đã làm qua suốt 263 năm mà lại vẫn chưa có một ai chứng minh thành công được bài toán đó. Bài toán này cũng được liệt vào trong số những danh sách vấn đề khó nhất nuốm giới.
Năm 1742, trong một bức thư gửi mang đến đồng nghiệp tại Thụy Sỹ, Goldbach đang đề cập đến những vấn đề tương quan đến thuyết số được phạt biểu: “Tất cả những số nguyên khi lớn hơn 2 gần như là tổng của 3 số nguyên tố”. Chẳng hạn: 35 = 19 + 13 + 3 giỏi 77 = 53 + 13 + 11.
Sau rộng 250 năm, mọi fan đã thống nhất điện thoại tư vấn nó là đưa thuyết Goldbach tam nguyên và có khá nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu vậy nhưng cho tới bây giờ thì vẫn chưa xuất hiện một ai đưa ra được lời giải của vấn đề này.
Cho mang lại thời điểm bây giờ thì bạn được chỉ ra rằng tiếp cận sớm nhất với việc này là công ty toán học Terence Tao đến từ trường đại học California nghỉ ngơi Los Angeles, Mỹ. Bên toán học này đã chứng tỏ được từng số lẻ là tổng buổi tối đa 5 số yếu tố và mong muốn là bản thân hoàn toàn có thể giảm trường đoản cú 5 xuống còn 3 để có được chiến thắng tuyệt đối trước trả thuyết Goldbach về sau không xa.
Bài toán đơn giản “Ai giữ lại cá” dẫu vậy khiến ít nhiều người buộc phải chào chiến bại trước Albert Einstein.
Vào cuối ráng kỉ XIX, nhà bác bỏ học nổi tiếng người Đức Albert Einstein đã giới thiệu một câu đố cùng ông quyết đoán chỉ có rất ít người trên trái đất là có thể giải được việc này!
Đề bài xích toán:
Có 5 ngôi nhà, mỗi ngôi nhà được sơn bằng một màu không giống nhau.
Chủ nhân của mỗi khu nhà ở này lại mang trong mình một quốc tịch khác nhau.
5 chủ nhân của ngôi nhà này thì mỗi cá nhân lại chỉ mê say một nhiều loại nước uống, hút một hãng thuốc lá không giống nhau và nuôi một loài vật nuôi riêng.
Không có vị chủ nhân nào lại say mê uống thuộc một một số loại nước uống, hút và một hãng thuốc lá và có cùng một loài vật nuôi.
Bài toán rất hóc búa nhưng mà chỉ 0,001% bạn giải được
Bài toán siêu hóc búa này được xếp thứ hạng là một trong những bài toán cạnh tranh nhất nạm giới. Lần thứ nhất tiên, vấn đề này được đưa vào trong kỳ thi SAT năm 1982 cùng chỉ gồm 3 trong tổng thể 300.000 thí sinh tham gia đưa ra câu vấn đáp chính xác.
Đề bài: Cho bán kính hình trụ B vội 3 lần chiều dài cung cấp kính hình trụ A. Nếu hình trụ A lăn xung quanh hình tròn trụ B thì nó phải tiến hành bao nhiêu vòng xoay để rất có thể trở lại điểm xuất phát?
=> những phương án được chuyển ra làm cho thí sinh gạn lọc là 3/2, 3, 6, 9/2, 9 vòng.
Cả đa số thí sinh dự kỳ thi SAT năm kia và nhiều người dân khi gọi đề thi này hầu hết chọn giải pháp số 3 là câu trả lời đúng.
Tuy nhiên, nếu đem hệ quy chiếu là vòng tròn A thì nó chỉ tự quay quanh 3 vòng. Mặc dù vậy nếu mang hệ quy chiếu không nằm trên vòng A thì nó đã quay được 4 vòng, vòng sản phẩm công nghệ tư đó là do vòng tròn B tặng kèm thêm.
Bài toán tra cứu sinh nhật của Cheryl đến từ Singapore
Đề bài:
Bernard với Albert vừa kết bạn với Cheryl. Xem ngày sinh nhật của Cheryl. Sau đó, Cheryl đã chỉ dẫn 10 đáp án: Ngày 15/5, ngày 16/5, ngày 19/5, ngày 17/6, ngày 18/6, ngày 16/7, ngày 14/7, ngày 14/8, ngày 15/8 và cuối cùng là ngày 17/8. Sau đó, Cheryl đã tiết lộ riêng với Albert cùng Bernard về tháng và ngày sinh của phiên bản thân mình.
Albert: “Tớ chần chờ ngày sinh của Cheryl, tuy nhiên tớ biết chắc chắn Bernard cũng ko biết”.
Bernard: “Trước tớ cũng phân vân ngày sinh của doanh nghiệp ấy tuy vậy giờ tớ biết rồi”.
Albert: “Vậy tớ đã biết ngày sinh nhật thiệt sự của Cheryl”.
Vậy theo những bạn, Cheryl sinh ngày nào? Ngay sau thời điểm Alex Bellos đăng bài toán này lên The Guardian, hàng trăm ngàn người đã ban đầu đi search kiếm đáp án. Bình luận được những người chú ý nhiều nhất vẫn thuộc về người hâm mộ Colinus với thắc mắc thể hiện nay sự bất lực của anh trước vấn đề đáng lẽ chỉ dành cho học sinh 14-15 tuổi: “Tại sao Cheryl ko nói thẳng ra luôn luôn sinh nhật của cô ý ấy đến hai bạn?”.
Đây là một câu hỏi có trong đề thi của hội thi Olympic Toán học châu Á năm 2015, theo Mothership.sg. Thực ra, người ra đề chỉ mong mỏi kiểm tra khả năng suy luận của thí sinh tham dự chứ không phải khả năng làm toán của họ.
Và đáp án và đúng là sinh nhật của Cheryl là ngày 16/7 (July 16).
Bài toán tra cứu số áo của Mỹ năm 2014
Đây là việc được chỉ dẫn trong hội thi Toán nước mỹ năm 2014.
Đề bài:
Có cha thành viên trong team bóng chày nàng trường trung học Euclid đang rỉ tai với nhau.
Ashley: Tớ vừa phân biệt số áo của 3 bọn mình mọi là số nguyên tố tất cả hai chữ số.
Bethany: Tổng hai số áo của các bạn chính là ngày sinh của mình vừa ra mắt trong mon này.
Caitlin: Ừ, vui thật, thiệt trùng đúng theo khi tổng hai số áo của những cậu lại là bao gồm ngày sinh của mình vào vào cuối tháng này.
Ashley: và tổng số áo của tất cả hai cậu lại bởi đúng ngày hôm nay.
Vậy vào đội, Caitlin mang áo số mấy?
(A) 13 (B) 11 (C) 17 (D) 19
Đây là 1 trong bài toán tương đối thú vị cùng cũng không thực sự khó để giải. Chính vì tất cả các ngày được kể tới trong câu chuyện đều nằm trong cùng một tháng, phải ngày sinh của Caitlin là mập nhất, tức là bằng 30, ngày từ bây giờ là ngày 28 cùng ngày sinh của Bethany là 24. Từ bỏ đó dễ dãi tìm được số áo của Ashley đó là 13, của Bethany là 17 với còn Caitlin sở hữu áo số 11.
Bài toán về hiệp sĩ cùng kẻ dối trá của Liên Bang Nga
Những dạng bài toán về hiệp sĩ khôn xiết được mếm mộ ở nước Nga. Vào một kỳ thi Olympic giành cho những học sinh lớp 9, fan ra đề đã đưa ra một bài toán cực kỳ thú vị.
Cho 30 tín đồ ngồi quanh 1 bàn tròn bao gồm 30 mẫu ghế được khắc số theo vật dụng tự từ là 1 đến 10. Một số trong số họ là hiệp sĩ, một vài lại là kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thiệt còn đa số kẻ lừa dối thì luôn nói dối. Mọi cá nhân chỉ tất cả đúng một fan bạn trong các những fan khác.
Hơn nữa, người chúng ta của hiệp sĩ lại là kẻ lừa dối và các bạn của kẻ lừa dối lại là hiệp sĩ. Mọi người sẽ đông đảo được hỏi: “Có phải các bạn của anh vẫn ngồi ở kề bên anh không?” 15 bạn khi ngồi ở vị trí lẻ trả lời: “Đúng”.
Tìm số tín đồ đang ngồi tại phần chẵn cũng đưa ra câu trả lời: “Đúng”.
Tiến sĩ è cổ Nam Dũng hiện đang là giảng viên Đại học khoa học Tự nhiên, của Đại học nước nhà TP tp hcm đã gửi ra giải mã đáp như sau: từ đề bài xích đã cho, ta có thể suy ra vào 30 người có đúng 15 cặp hiệp sĩ với kẻ lừa dối là bạn của nhau. Tự đó, ta có thể dễ dàng suy luận được đáp số của việc này bằng phương pháp “giả định” cả 15 người ở đoạn lẻ đa số là hiệp sĩ. Lúc đó, dĩ nhiên bạn của rất nhiều hiệp sĩ này đông đảo ngồi cạnh ở những vị trí chẵn và sẽ đều là kẻ lừa dối, bởi vì đó không có ai nói “Đúng”. Đáp số đúng là 0.
Tuy nhiên, đây chỉ là dự đoán đáp số của vấn đề chứ không phải lời giải. Với bí quyết hỏi sinh sống đề bài, ta vẫn biết đáp số là 0. Cơ mà để xác định được điều này, ta cần phải minh chứng chứ phải không chỉ là là chỉ dẫn một ví như vậy.
Nếu họ quá sa đà vào việc xét vị trí ngồi của toàn bộ 30 bạn (ai là hiệp sĩ cùng ai là người nói dối) thì sẽ rất rối chính vì có rất nhiều trường thích hợp xảy ra. Bí quyết của giải thuật ở đó là là ở nhấn xét đặc biệt sau:
Trong 2 tín đồ là chúng ta của nhau thì chỉ bao gồm đúng 1 người nói “Đúng” cho thắc mắc “Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh bên anh không?”. Thật vậy, nếu bao gồm hai người, 1 hiệp sĩ và 1 kẻ lừa dối là chúng ta của nhau. Xét 2 trường hợp:
Nếu chúng ta ngồi cạnh nhau thì hiệp sĩ sẽ công bố nói đúng, còn kẻ lừa dối đã nói “Không”.
Nếu chúng ta không ngồi cạnh nhau thì hiệp sĩ vẫn nói “Không”, còn kẻ lừa dối sẽ nói “Đúng”.
Như vậy, bởi vì ta có 15 cặp bạn bè nên ta sẽ sở hữu được đúng 15 câu trả lời “Đúng”. Bởi vì cả 15 người tại vị trí lẻ hầu như đã nói “Đúng” nên toàn bộ những bạn ngồi ở trong phần chẵn những nói “Không”. Tức là đáp số của bài đưa ra bằng 0.
Vậy nên bài viết này shop chúng tôi đã cung cấp cho mình đọc hầu hết bài toán cực nhọc nhất cụ giới cũng giống như giới thiệu cho chính mình sự thành lập và hoạt động của nguồn gốc toán học.
Xem thêm: Các hàm thông dụng trong excel 2007 2010 bạn phải biết để thành (pro)
Trả lời Hủy
Email của các bạn sẽ không được hiển thị công khai. Những trường buộc phải được ghi lại *
Bình luận *
Tên *
Email *
Trang web
giữ tên của tôi, email, và website trong trình thông qua này đến lần comment kế tiếp của tôi.