Bài giảng
Giải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kê
Video bài giảng
Thảo luận
Thảo luận về giải tích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks

6. Các ví dụ:

*
Ví dụ 1: Tính

*

với AB là nửa trên đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1 nối điểm A(2;0) với điểm B(0;0)

– Phương trình đường tròn tâm I(1;0), bán kính 1 có dạng

*

– Phương trình này có dạng tham số:

*

Do cung AB là nửa trên đường tròn nên:

– Tại A ta có:

*

tương tự: tại B ta có

*

Vậy:

*
dt \\ = \int\limits_{0}^{\pi} (-1 - cost)dt = (-t - sint)_0^{\pi} = -\pi " class="latex" />

Nhận xét:

– Với đường cong trên, nếu ta viết phương trình đường cong dạng tổng quát thì:

*

– Nếu viết phương trình tổng quát với x là hàm theo y thì ta phải chia cung AB thành 2 cung AC và CB. Vì cung AC nằm bên phải đường thẳng x = 1 nên có pt:

*
còn cung CB nằm bên trái đường thẳng x = 1 nên có pt:
*

– Việc tính tích phân bằng 2 cách trên sẽ phức tạp hơn so với việc cách viết pt đưo2ng cong tham số.

*
Ví dụ 2: Tính

*

trong đó L là:

a. đoạn thẳng nối hai điểm O(0;0) và A(1;1)

b. cung parabol

*
nối 2 điểm đó.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải

c. L là chu vi tam giác OAB lấy theo hướng dương.

Giải

a. Phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0;0) và A(1;1) là y = x. Tại O ta có:

*
, tại A:
*

Khi đó: dy = dx. Ta có:

*
dx = \left( x^2 + \dfrac{x^3}{3} \right)_0^1 = \dfrac{4}{3} " class="latex" />

b. OA là cung parabol

*
nối O(0;0) và A(1;1) nên dy = 2xdx. Do đó:

*
dx = \int\limits_0^1 (x + x^2 + 2x^4) dx \\ = \left( \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{5} \right)_0^1 = \dfrac{37}{30} " class="latex" />

Nhận xét: – Với 2 hàm P, Q như trên, ta thấy tích phân đường ngoài việc phụ thuộc điểm đầu, điểm cuối. Kết quả còn phụ thuộc đường cong lấy tích phân.

c. Do L là đường cong kín lấy theo hướng dương nên ta xét đường gấp khúc OBAO. Do đường gấp khúc này gồm 3 đoạn OB, BA, AO có phương trình khác nhau.

Nên:

*

Khi đó:

– Trên cung OB ta có:

*

Do đó:

*

– Trên cung BA ta có:

*

Nên:

*

– Trên cung AO: đoạn thẳng y = x nối điểm A(1;1) với O(0;0) đây là đoạn thẳng ngược hướng với đoạn thẳng OA nên:

Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.


2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$
4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$
*
565 Bài viết

Dù hơi bị bận rộn một chút nhưng tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.

.......................................................

1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.

$I=\int_{L}f(x,y)ds$

Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x"(t))^{2}+(y"(t))^{2}}dt$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y"(x) \right )^{2}}dx$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x"(y) \right )^{2}+1}dx$

Ví dụ 1:

$I_1=\int _{AB}(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).

Giải:

Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ và L là đoạn thẳng AB.

Như tóm tắc lý thuyết đã nêu trên thì ta cần biết dạng biểu diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn thẳng AB. Như trên thì ta có 3 cách biểu diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin làm theo cả ba cách để bạn có thể nắm bắt tốt nó.

Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

$AB:\left\{\begin{matrix} x=4t\\ y=3t\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{1}\left < (4t)-(3t) \right >\sqrt{4^2+3^2}dt=5\int_{0}^{1}tdt=\frac{5}{2}$

.............................................

Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để chúng ta tiện sử dụng.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.Khi đó phương trình tham số đoạn AB là:$\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là:$\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left < 0,2\pi \right > \end{matrix}\right.$

.........................................................

Cách 2:

Ta có phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra$y=\frac{3}{4}x$.

Xem thêm: Các bài thuyết trình bằng powerpoint, thiết kế slide thuyết trình miễn phí

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

Đó là$AB:\left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{4}x\\ x\in \left < 0,4 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{4}\left < x-\left ( \frac{3}{4}x \right ) \right >\sqrt{1+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}dx=\frac{5}{32}\int_{0}^{4}xdx=\frac{5}{2}$

Cách3:

Giống như cách 2 ta cũng có$\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}y\\ y\in \left < 0,3 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{3}\left < \left ( \frac{4}{3}y \right )-y \right >\sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}+1}dy=\frac{5}{9}\int_{0}^{3}ydy=\frac{5}{2}$

2) Tích phân đường loại 1 trong không gian

$I=\int_{L}f(x,y,z)ds$

Ta biểu diễn$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ t\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t),z(t) \right )\sqrt{\left ( x"(t) \right )^{2}+\left ( y"(t) \right )^{2}+\left ( z"(t) \right )^{2}}dt$

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

$I_2=\int_{L}xyzds$ với$L:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}\\ z=\frac{t^{2}}{2}\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_2=\int_{0}^{1}t.\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}.\frac{t^{2}}{2}.\sqrt{1^2+\left ( \sqrt{2t} \right )^{2}+t^{2}}.dt$

$=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}\sqrt{1+2t+t^2}.dt=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}(1+t)dt=\frac{16\sqrt{2}}{143}$