Bài giảng
Giải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kê
Video bài bác giảng
Thảo luận
Thảo luận về giải tích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks

6. Các ví dụ:

*
Ví dụ 1: Tính

*

với AB là nửa trên phố tròn vai trung phong I(1;0) bán kính 1 nối điểm A(2;0) với điểm B(0;0)

– Phương trình đường tròn trung tâm I(1;0), nửa đường kính 1 tất cả dạng

*

– Phương trình này còn có dạng tham số:

*

Do cung AB là nửa trên tuyến đường tròn nên:

– trên A ta có:

*

tương tự: trên B ta gồm

*

Vậy:

*
dt \\ = \int\limits_0^\pi (-1 - cost)dt = (-t - sint)_0^\pi = -\pi " class="latex" />

Nhận xét:

– Với con đường cong trên, ví như ta viết phương trình con đường cong dạng bao quát thì:

*

– nếu như viết phương trình tổng thể với x là hàm theo y thì ta bắt buộc chia cung AB thành 2 cung AC và CB. Vày cung AC nằm cạnh phải đường thẳng x = 1 nên bao gồm pt:

*
còn cung CB nằm cạnh trái mặt đường thẳng x = 1 nên bao gồm pt:
*

– việc tính tích phân bằng 2 giải pháp trên sẽ phức tạp hơn so với vấn đề cách viết pt đưo2ng cong tham số.

*
Ví dụ 2: Tính

*

trong đó L là:

a. đoạn thẳng nối nhị điểm O(0;0) và A(1;1)

b. Cung parabol

*
nối 2 điểm đó.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải

c. L là chu vi tam giác OAB lấy theo hướng dương.

Giải

a. Phương trình đoạn trực tiếp nối nhị điểm O(0;0) cùng A(1;1) là y = x. Trên O ta có:

*
, trên A:
*

Khi đó: dy = dx. Ta có:

*
dx = \left( x^2 + \dfracx^33 \right)_0^1 = \dfrac43 " class="latex" />

b. OA là cung parabol

*
nối O(0;0) và A(1;1) cần dy = 2xdx. Vì chưng đó:

*
dx = \int\limits_0^1 (x + x^2 + 2x^4) dx \\ = \left( \dfracx^22 + \dfracx^33 + \dfrac2x^55 \right)_0^1 = \dfrac3730 " class="latex" />

Nhận xét: – cùng với 2 hàm P, Q như trên, ta thấy tích phân đường bên cạnh việc nhờ vào điểm đầu, điểm cuối. Tác dụng còn phụ thuộc đường cong đem tích phân.

c. Do L là mặt đường cong kín lấy theo phía dương nên ta xét mặt đường gấp khúc OBAO. Bởi vì đường vội vàng khúc này có 3 đoạn OB, BA, AO gồm phương trình khác nhau.

Nên:

*

Khi đó:

– bên trên cung OB ta có:

*

Do đó:

*

– bên trên cung cha ta có:

*

Nên:

*

– bên trên cung AO: đoạn thẳng y = x nối điểm A(1;1) với O(0;0) đó là đoạn trực tiếp ngược hướng với đoạn trực tiếp OA nên:

Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Cơ mà thầy cũng ko giảng. Cần chả bik làm cố kỉnh nào.


2, $int_L y dx - (y+ x^^2) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ vị trí trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $int_L(2a-y)dx + xdy$; L là mặt đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0leqslant tleqslant 2pi ; a>0$
4, $I=int_L xyz ds$; L là mặt đường cung của mặt đường cong $x=t; y=frac13sqrt8t^3; z=frac12t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$
*
565 bài viết

Dù tương đối bị bận bịu một chút mà lại tôi cũng nỗ lực giải thích giúp đỡ bạn một số ý chính.

.......................................................

1) Tích phân nhường nhịn loại một trong những mặt phẳng.

$I=int_Lf(x,y)ds$

Nếu$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ tin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t) ight ).sqrt(x"(t))^2+(y"(t))^2dt$Nếu$L:left{eginmatrix y=y(x)\ xin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x,y(x))sqrt1+left ( y"(x) ight )^2dx$Nếu$L:left{eginmatrix x=x(y)\ yin left < a,b ight > endmatrix ight.$ thì$I=int_a^bf(x(y),y)sqrtleft ( x"(y) ight )^2+1dx$

Ví dụ 1:

$I_1=int _AB(x-y)ds$ cùng với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).

Giải:

Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ và L là đoạn trực tiếp AB.

Như cầm tắc lý thuyết đã nêu bên trên thì ta cần biết dạng màn biểu diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn trực tiếp AB. Như trên thì ta tất cả 3 cách màn trình diễn của đoạn AB. Và ở chỗ này tôi cũng xin làm theo cả ba cách để chúng ta cũng có thể nắm bắt xuất sắc nó.

Cách 1: Ta màn trình diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

$AB:left{eginmatrix x=4t\ y=3t\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^1left < (4t)-(3t) ight >sqrt4^2+3^2dt=5int_0^1tdt=frac52$

.............................................

Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở chỗ nào ra? Xin thưa rằng nó phía trong chương trình lớp 10. Nhưng tại chỗ này tôi cũng xin kể lại một số hiệu quả để họ tiện sử dụng.

Trong phương diện phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, đến hai điểm $A(x_A,y_A)$ cùng $B(x_B,y_B)$.Khi kia phương trình tham số đoạn AB là:$left{eginmatrix x=x_A+(x_B-x_A).t\ y=y_A+(y_B-y_A).t\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $left ( C ight )$ có phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi đó phương trình thông số của $left ( C ight )$ là:$left{eginmatrix x=a+Rcos t\ y=b+Rsin t\ tin left < 0,2pi ight > endmatrix ight.$

.........................................................

Cách 2:

Ta tất cả phương trình con đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra$y=frac34x$.

Xem thêm: Các bài thuyết trình bằng powerpoint, thiết kế slide thuyết trình miễn phí

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

Đó là$AB:left{eginmatrix y=frac34x\ xin left < 0,4 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^4left < x-left ( frac34x ight ) ight >sqrt1+left ( frac34 ight )^2dx=frac532int_0^4xdx=frac52$

Cách3:

Giống như biện pháp 2 ta cũng có$left{eginmatrix x=frac43y\ yin left < 0,3 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_1=int_0^3left < left ( frac43y ight )-y ight >sqrtleft ( frac43 ight )^2+1dy=frac59int_0^3ydy=frac52$

2) Tích phân mặt đường loại một trong các không gian

$I=int_Lf(x,y,z)ds$

Ta biểu diễn$L:left{eginmatrix x=x(t)\ y=y(t)\ z=z(t)\ tin left < a,b ight > endmatrix ight.$

Khi đó$I=int_a^bfleft ( x(t),y(t),z(t) ight )sqrtleft ( x"(t) ight )^2+left ( y"(t) ight )^2+left ( z"(t) ight )^2dt$

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

$I_2=int_Lxyzds$ với$L:left{eginmatrix x=t\ y=frac13sqrt8t^3\ z=fract^22\ tin left < 0,1 ight > endmatrix ight.$

Khi đó

$I_2=int_0^1t.frac13sqrt8t^3.fract^22.sqrt1^2+left ( sqrt2t ight )^2+t^2.dt$

$=fracsqrt23int_0^1t^frac92sqrt1+2t+t^2.dt=fracsqrt23int_0^1t^frac92(1+t)dt=frac16sqrt2143$