21/05/2023

Bài Tập Ma Trận Có Lời Giải Pdf, Bài Tập Ma Trận Có Lời Giải

Đại số ma trận được nghiên cứu và phân tích và cải cách và phát triển một cách khối hệ thống vào năm 1858 bởi Arthur Cayley đem lại nhiều vận dụng hữu ích. Bài viết dưới phía trên TTnguyen sẽ chia sẻ kiến thức cơ phiên bản cùng những dạng bài tập ma trận gồm lời giải chi tiết giúp các bạn ôn tập dễ dàng dàng.

Bạn đang xem: Bài tập ma trận có lời giải pdf

1. Ma trận là gì?

Hầu hết một hàng số hình chữ nhật được gọi là ma trận, và những số được call là những phần tử ma trận. Ma trận thường được cam kết hiệu bằng chữ cái in hoa: A,B,C

Ma trận kích cỡ m x n là một trong những bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột
Kí hiệu ma trận : A = (aij) m x n
Ví dụ dưới đây là một ma trận:

Ma trận có nhiều hình dạng không giống nhau tuỳ thuộc vào số hàng và cột. Ví dụ như ma trận trên bao gồm 3 hàng với 3 cột. Thường xuyên thì ma trận cùng với m hàng và n cột thường được call là ma trận m x n. Với ma trận có size 1 x n được call là ma trận hàng, ma trận có form size m x 1 được hotline là ma trận cột. Ma trận cỡ n x n được hotline là ma trận vuông.

Phần tử của ma trận được xác minh bởi hàng cùng cột của nó. Những hàng được khắc số từ bên trên xuống dưới, và các cột được đánh số từ trái qua phải. Do đó, bộ phận (i,j) của ma trận là thành phần hàng i, cột j.

Với ma trận A là ma trận 3×4 bao gồm aij. Thì ma trận A được biểu hiện như sau:

Tóm lại:

Nếu ma trận kích cỡ m x n, thì nó bao gồm m hàng cùng n cột.Phần tử ma trận aij nghĩa là phần tử nằm ở sản phẩm i cột j.

2. Các ma trận đặc biệt

a. Ma trận 0: các thành phần đều bởi 0

b. Ma trận mặt đường chéo: Ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo chính bởi 0

c. Ma trận solo vị: Ma trận gồm các thành phần đường chéo =1

d. Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông nhưng các bộ phận nằm dưới đường chéo chính =0

e. Ma trận chuyển vị của A:

f. Các đặc thù của ma trận

g. Ma trận bậc thang

Nếu các hàng = 0 thì đề xuất ở bên dưới cùng
Nếu các hàng ≠ 0 thì phần tử đầu tiên của hàng dưới đề nghị lệch sang trọng phải thành phần ≠ 0 thứ nhất hàng trên

4. Phép cùng 2 ma trận

Nếu A với B là 2 ma trận cùng cỡ, thì ma trận A + B được tính bằng cách cộng các bộ phận cùng vị trí.

Lưu ý: Không cùng 2 ma trận khác kích cỡ.

Tính chất:

Với A, B, C là ma trận ngẫu nhiên cùng kích thước thì: A+B = B+A ; A+(B+C) = (A+B)+CMa trận nào cộng với ma trận ko cũng bằng chính nó: 0+X=XPhép trừ ma trận: A-B được xác minh bởi: A-B=A+(-B)

Ví dụ 1: Tính -A, A-B và A+B-C những ma trận sau:

Giải

Ví dụ 2: tra cứu ma trận X sau:

Giải

5. Phép nhân 2 ma trận

5.1 Nhân ma trận với 1 số bất kỳ

Nếu A là 1 trong ma trận ngẫu nhiên và k là 1 trong những số bất kỳ thì ma trận k
A được tính bằng phương pháp nhân từng phần tử của ma trận A cùng với k

Ví dụ nhân ma trận với cùng một số:

Lưu ý:

Nếu A là 1 trong ma trận bất kỳ, thì ma trận k
A có form size giống A và: 0A=0 ; k0=0

5.2 biện pháp nhân 2 ma trận

Muốn nhân ma trận A cùng với ma trận B thì phải gồm điều kiện:

số cột ma trận A thông qua số hàng ma trận B

Lấy phần tử đứng ở sản phẩm i cột j trong ma trận A, ta rước lần lượt từng phần tử đứng ở mặt hàng i vào ma trận A nhân vớitừng phần tử tương ứng đứng sinh sống cột j vào ma trận B rồi cùng lại.

Ví dụ:

1.1+1.3 = 4 1.2+1.4=6 1.3+1.4=7

3.1+7.3=24 3.2+7.4=34 3.3+7.4=37

6. Định lý

Với A, B với C là ma trận kích thước m x n bất kỳ. Với k và p. Là số thực ngẫu nhiên thì bao gồm định lý của ma trận:

A+B=B+AA+(B+C) = (A+B)+CMa trận 0 kích cỡ m x n thì 0 + A = AVới từng A là ma trận ngẫu nhiên cỡ m x n, -A thì A +(-A)=0k(A+B)=k
A+k
B(k+p)A=k
A+p
A(kp)A=k(p
A)1A=A

Các dạng bài xích tập ma trận và biện pháp giải

1.Tìm ma trận A thoả mãn:

2. Bài bác tập nhân 2 ma trận toán cao cấp

3. Bài xích tập ma trận bậc thang có lời giải

Ví dụ: Đưa ma trận sau về ma trận bậc thang:

Bài viết này shthcm.edu.vn ra mắt đến chúng ta đọc triết lý và hạng của ma trận kèm các ví dụ với phân loại các dạng toán từ cơ bạn dạng đến cải thiện về hạng của ma trận:

Các dạng toán về ma trận nghịch hòn đảo và phương thức giải

Định nghĩa hạng của ma trận

Xét ma trận $A=(a_ij)_m imes n.$ Đặt $A_i^d = (a_i1,a_i2,...,a_in);A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_nj endarray ight).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ mẫu $left A_1^d,A_2^d,..,A_m^d ight$ cùng cũng đó là hạng của hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$ Được kí hiệu là $r(A).$

Định thức bé của ma trận và quan hệ với hạng của ma trận

Hạng của một hệ véctơ

Các tính chất về hạng của ma trận

a) $r(A)=r(A");$

b) giả dụ $A$ là 1 trong ma trận vuông cấp cho $n$ khi đó $r(A)=nLeftrightarrow det (A) e 0,$ phụ thuộc vào tính hóa học này bạn có thể dùng định thức nhằm tìm tuyệt biện luận hạng của một ma trận vuông;

c) ví như $A$ là một trong những ma trận vuông cấp cho $n$ khi đó hệ véctơ chiếc (hệ véctơ cột) của ma trận $A$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $r(A)=n.$

Tổng hợp đề thi cùng giải chi tiết Đề giữa kì Đại số tuyến đường tính Đại học tập bách khoa tp. Hà nội học kì 20191Tổng đúng theo đề thi cùng giải cụ thể Đề giữa kì Giải tích 1 Đại học tập bách khoa hà nội thủ đô học kì 20191

1. Tra cứu hạng của ma trận đến trước

Để tìm hạng của ma trận cho trước ta hoàn toàn có thể sử dụng phép thay đổi Gauss hoặc áp dụng định thức bao quanh (định thức con chủ yếu cấp k của ma trận). Thuộc xem các ví dụ sau:

Câu 1:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl - 2d_1 + d_2 \ - 3d_1 + d_3 \ - 2d_1 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&2&3& - 7&5 \ 0&3& - 2& - 4&0 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)=3.$

Câu 2:Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm kiếm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z \ y&z&x \ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với

Do đó $r(A)le 2.$ ngoài ra $D_12^12=xz-y^2Rightarrow y
D_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 0&3& - 1 \ - 2&4&2 \ 2&5&7 endarray ight).$

Giải.Ta có:

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 \ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&3&0 \ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra các định thức cấp 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$

Câu 5:Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có

Ta xét những định thức cấp 5 bảo phủ định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight).$

Giải.Ta có

Câu 7:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&3&0 \ 2& - 1&1& - 1&4 \ 3&1&3&1&5 \ - 1&3& - 2&1& - 10 endarray ight).$

Giải.Có $D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2& - 1&3 \ 2& - 1&1& - 1 \ 3&1&3&1 \ - 1&3& - 2&1 endarray ight| = 45 e 0 Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8:Tìm hạng của ma trận sau$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Giải.Có biến hóa ma trận:

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình đường tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: quy mô Input - output của Leontief

Bài 5: quy mô cân bằng thị trường và cân bằng kinh tế vĩ mô

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN cho TRƯỚC

Tìm hạng của các ma trận sau:

a) $A = left( eginarray*20c 3&2&1 \ 1& - 1& - 3 \ 1&1&1 endarray ight);$	b) $A = left( eginarray*20c 2&3& - 1&4 \ 3& - 4&2& - 1 \ - 1&7& - 2& - 8 \ 4&6& - 1& - 5 endarray ight);$
c) $A = left( eginarray*20c 3& - 1&3&2&5 \ 5& - 3&2&3&4 \ 1& - 3& - 5&0& - 7 \ 7& - 5&1&4&1 endarray ight);$	d) $A = left( eginarray*20c 1&3&5& - 1 \ 2& - 1& - 3&4 \ 5&1& - 1&7 \ 7&7&9&1 endarray ight);$
e) $A = left( eginarray*20c 25&31&17&43 \ 75&94&53&132 \ 75&94&54&134 \ 25&32&20&48 endarray ight);$	f) $A = left( eginarray*20c 4&3& - 5&2&3 \ 8&6& - 7&4&2 \ 4&3& - 8&2&7 \ 4&3&1&2& - 5 \ 8&6& - 1&4& - 6 endarray ight).$

Tj15e5a
YR.png" alt="*">

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Tương từ bỏ như search hạng của ma trận mang đến trước ta có thể sử dụng phép đổi khác Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con bao gồm cấp k của ma trận). Trường hợp ma trận nên biện luận hạng là một trong ma trận vuông ta hoàn toàn có thể biện luận hạng của nó theo định thức của ma trận đó. Cùng xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.

Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma trận sau nhỏ nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ chứng tỏ rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

FJNYbc7x1Z.png" alt="*">

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

QOJOPPPv
EE.png" alt="*">

Ví dụ 9:Biện luận hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 2&m& - 1&2&1 \ 1&1& - 1&m& - 1 \ 2&3& - 1&2&1 endarray ight).$

Giải.Biến đổi ma trận $A$

+ nếu $m=3Rightarrow rleft( A ight)=3$

+ trường hợp $m e 3Rightarrow rleft( A ight)=4$

Ví dụ 10: Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ bé dại nhất.

Pb
RLEKj
Ee.png" alt="*">

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải. Có

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn phát âm tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ bao gồm hạng bởi 2.

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ có hạng bé nhất.

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ phệ nhất.

W.png" alt="*">

Ví dụ 15:Tìm $a,b,c$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight)$ nhỏ nhất.

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0&0&0& - 2a + 2b + c - 2& - a - 2b + 2c - 1&2a + b + 2c - 2 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)_min = 2 Leftrightarrow left{ egingathered - 2a + 2b + c - 2 = 0 hfill \ - a - 2b + 2c - 1 = 0 hfill \ 2a + b + 2c - 2 = 0 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered a = - dfrac19 hfill \ b = dfrac49 hfill \ c = dfrac89 hfill \ endgathered ight..$

Ví dụ 16:Cho các số thực dương $a,b$ thoả nguyện $a+b>2$ và ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Giải.Đây là ma trận vuông vậy trước hết tính định thức của nó:

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) ví như $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) nếu như $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 2$ cùng ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Đây là ma trận vuông vậy trước hết tính định thức của nó:

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) nếu $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) nếu $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 $r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây:https://shthcm.edu.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

hoặc trên đây:https://askmath.vn/cau-hoi/dinh-li-ve-hang-cua-ma-tran-phu-hop-cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu/d82056f4-cd53-4877-b64b-ad797fc95185

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight).$ Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A^*$ là ma trận phụ phù hợp của $A.$

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight)xrightarrowmathbfdoi\_cho\_mathbfd_mathbf1mathbf& mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ 1&2&m&1 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf4mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&5&6&13 \ 0&4&m + 1&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf5mathbfd_mathbf2mathbf + 2mathbfd_mathbf3 \ mathbf2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&m - 1& - 12 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - (m - 1)mathbfd_mathbf3mathbf + 7mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&0&14(m - 7) endarray ight). hfill \ endgathered $

+) nếu như $m e 7Rightarrow r(A)=4Rightarrow r(A^*)=4;$

+) nếu như $m=7Rightarrow r(A)=3=4-1Rightarrow r(A^*)=1.$

4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận

Ta thực hiện các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ cùng với $A,B$ là hai ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ với $A,B$ là nhị ma trận bất kì thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận vuông thuộc cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ vừa lòng $A^2=E.$ minh chứng rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ tất cả $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do kia $det (C)-(-1)^n$ phân tách hết mang đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ tất cả $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Giải. Ta gồm $r(B)=r(C)=1$ với $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Ví dụ 4: Cho nhị ma trận $A,B$ vuông cùng cấp làm thế nào cho $A^2=A,B^2=B$ cùng ma trận $E-A-B$ khả nghịch. Chứng tỏ rằng $r(A)=r(B).$

Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch nên$left{ egingathered r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - A^2 - AB) = r( - AB) hfill \ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - B^2) = r( - AB) hfill \ endgathered ight. Rightarrow r(A) = r(B).$

Ví dụ 5:Cho ma trận vuông $A$ chấp thuận $A^m=O.$ chứng minh rằng với đa số số nguyên dương $n$ ta luôn luôn có $r(A)=r(A+A^2+...+A^n).$

Giải.Xét các phương trình $AX=O(1);(A+A^2+...+A^n)X=O(2).$

Ta chỉ việc chứng minh (1) và (2) gồm cùng tập nghiệm, lúc ấy $r(A)=r(A+A^2+...+A^n)=p-r$ trong những số ấy $p$ là cấp của ma trận $A;$ với $r$ là số chiều không gian nghiệm của nhị hệ phương trình.

+) nếu như $AX_0=ORightarrow (A+A^2+...+A^n)X_0=AX_0+A(AX_0)+...+A^n-1(AX_0)=O.$

+) giả dụ $(A+A^2+...+A^n)X_0=ORightarrow AX_0=-(A^2+...+A^n)X_0=-A^2(E+A+...+A^n-2)X_0=A^2BX_0,$ trong những số ấy $B=-(E+A+...+A^n-2),AB=BA.$

Suy ra

Ta tất cả điều đề nghị chứng minh.

Ví dụ 6:Cho $A$ là ma trận thực cung cấp $4 imes 2$ cùng $B$ là ma trận thực cấp $2 imes 4$ toại nguyện $AB = left( eginarray*20c 1&0& - 1&0 \ 0&1&0& - 1 \ - 1&0&1&0 \ 0& - 1&0&1 endarray ight).$ kiếm tìm ma trận $BA.$

5. Khảo sát điều tra hạng của hệ véctơ dựa trên hạng của ma trận

Hiện tại shthcm.edu.vn chế tạo 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương thức giải bài bác tập các dạng toán đi kèm theo mỗi bài xích học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng trường đoản cú luận gồm lời giải chi tiết tại website để giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong những trường ghê tế.

Xem thêm: Cách chèn background cho powerpoint 2007 2010 2013, cách thay đổi hình nền slide trong powerpoint

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:

- ĐH tài chính Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH giang sơn Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...